¿Se acuerda de la época del “cuento del tío”? Cuando a uno querían venderle o bien un buzón o el obelisco, o un billete premiado de lotería. Para todos aquellos que tengan menos de 30 años, sugiero consultar con “el equipo”. Ahora que lo pienso me resulta tan gracioso como tierno. ¿Se podría aplicar hoy? En fin...
Sin embargo, lo que todavía seguimos viendo es gente que vende espejitos de colores. Embusteros. Eso. No se me ocurre una palabra mejor: embusteros, timadores, pillos, canallas, cuenteros. Elija usted la que le parezca más apropiada, pero la definición debe decir que es una “persona que quiere aprovecharse de la buena fe de su(s) interlocutor(es)”.
Con todo, si bien hay situaciones muy obvias, hay otras que no son tan evidentes. Y conviene estar alerta. Estoy seguro de que la mayoría de quienes están leyendo este texto pasaron alguna vez por una calle en donde había un señor, con tres mitades de cáscaras de nueces, y debajo de una de ellas tiene una bolita o una moneda, y las va moviendo alternativamente y preguntando debajo de cuál de las tres se encuentra. Y recibe apuestas. Y gana. Gana muchas más veces que las que pierde. Y muchas de las que pierde lo hace a propósito, para seducir a más clientes.
Es por eso que hoy quiero contar una de las múltiples historias que circulan. Muchas tienen el mismo origen y, por lo tanto, la misma forma de “destruirles” el encanto. Pero, de todas formas, conviene estar atento para que alguien, bien entrenado, no trate de usar la matemática en su beneficio.
Un señor pone tres cartas en un sombrero. Cada carta está pintada de un sólo color por lado. Es decir:
a) Una carta tiene los dos lados pintados de blanco.
b) Otra carta tiene un lado pintado de blanco y otro de negro.
c) Y la tercera carta tiene negro de los dos lados.
Una vez puestas las cartas en el sombrero, le ofrece a quien quiera participar que elija una de las tres cartas y que la ponga arriba de la mesa. Supongamos que la carta que sacó tiene el color Blanco expuesto hacia arriba. Es decir, no se ve el color que hay del otro lado.
El dueño del sombrero, entonces, le dice al que retiró la carta:
“Usted sabe que la carta que eligió tiene o bien Negro o bien Blanco del otro lado. No puede ser la carta que tenga los dos lados Negro, porque usted ya ve que la parte que está expuesta es de color Blanco.
Por lo tanto es o bien la carta B/B o bien B/N. Luego, la probabilidad de que del otro lado haya o bien N o bien B es la misma.
Le apuesto entonces 100 pesos a que del otro lado la carta es de color blanco.”
La tentación es creer que lo que dijo este hombre es cierto. O sea, que las chances de que sea Blanca o Negra del otro lado son las mismas.
Sin embargo, yo lo invito a pensar que en realidad no es así. Y preferiría no escribir inmediatamente la razón por la que no es cierto lo que dijo.
La/lo dejo con usted mismo y vuelvo en el párrafo siguiente. No desaproveche la oportunidad de desafiar su intuición. Créame que vale la pena.
Solución
Ahora sigo yo. En realidad, le sugiero que hagamos un modelo [1] juntos que sirva para representar lo que pasa con las cartas y el sombrero.
Tomemos un cubo cualquiera (como si fuera un dado... pero sin los números). O sea, un cubo pero con las caras limpias. Voy a hacer lo siguiente: voy a pintar cada cara del cubo tratando de simular lo que recién teníamos con las cartas. Sígame.
Como una de las cartas tenía las dos caras de blanco, digamos B1 y B2, entonces pinto dos caras opuestas del cubo de color blanco.
Como la segunda carta tiene Blanco de un lado (B3) y Negro (N3) del otro, entonces pintamos otras dos caras opuestas del cubo una de blanco y la otra de negro.
Y, finalmente, como la tercera carta tiene los dos lados pintados de Negro (N1 y N2), entonces, pinto las dos caras restantes del cubo de color negro.
¿Está de acuerdo conmigo con esta representación que elegí para las tres cartas? No acepte lo que yo escribí sin debatirlo internamente hasta convencerse de que o bien está de acuerdo conmigo o hay algo que yo hago mal. Piénselo.
Esta modelización lo que pretende es transformar el problema original en uno que podamos manejar de otra forma y quizá sirva para entenderlo mejor (al problema).
Puesto en términos del “dado”, o del cubo, que el señor haya elegido una carta que tiene un lado pintado de blanco, es equivalente a haber tirado el dado y que hubiera salido una cara pintada de blanco.
Y el dueño del sombrero dice que está dispuesto a apostar 100 pesos a que del otro lado del dado (en la cara opuesta) hay también una cara pintada de blanco. Y usted duda si le conviene aceptar o no, o si las chances son parejas o sea las mismas para cada uno.
Pero fíjese lo siguiente. Como el color de la cara que salió al tirar el dado fue blanca, esto significa que pudo haber sido o bien la cara B1 o B2 o B3 (siguiendo los nombres que puse más arriba). Y acá viene lo interesante (y sorprendente al mismo tiempo). Si la cara que salió es B1, entonces del otro lado hay B2. Pero si salió B2, entonces del otro lado está B1.
Y sólo en el caso que hubiera salido B3, del otro lado está N3.
Es decir, que hay una sola posibilidad de que del otro lado esté la cara negra (N3), contra dos posibilidades de que del otro lado haya una cara blanca (o bien B1 o bien B2).
Luego, sobre tres posibilidades, el embustero tiene dos a favor contra una en contra. A usted ¡no le conviene jugar al juego! (salvo que esté dispuesta/o a perder dinero).
Más aún: la probabilidad de que él gane es 2/3 y la suya es un 1/3. No juegue. Al menos, no con estas reglas.
Moraleja: muchas más veces de las que uno advierte, hay matemática involucrada y uno no está preparado. Uno cree que toma una buena decisión, pero no necesariamente es así. En particular, por ejemplo, cuando uno compra algo a plazos o pide un crédito o decide asegurar un objeto. No todos los casos son iguales, por supuesto, pero conviene estar atento.
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[1] En la edición de Página/12 del 27 de noviembre del año 2008 escribí una versión diferente del mismo problema y usé la misma modelización. En cualquier caso, esto sirve para comprobar –una vez más– cómo funciona el pensamiento matemático. Aunque los problemas tengan enunciados diferentes, en esencia, son el mismo. Y, por lo tanto, es esperable que su solución sea la misma también.