El problema está propuesto como un ejercicio en el libro The Art and Craft of Problem Solving, de Paul Zeitz. Cuando me propuse escribir el siguiente problema, pensé que lo describiría como un “problema precioso”. ¿Quién podría discutirlo? En todo caso, la definición de belleza carece de sentido, ya que lo que es bello para mí puede no serlo para usted y/o viceversa.
Sin embargo, hay algunos patrones que parecen repetirse en la mayoría de las personas, y por eso existen obras de arte como La Gioconda o la Quinta Sinfonía de Beethoven que resisten el paso del tiempo. También hay amaneceres o puestas de sol que nos entregan una sensación de armonía y paz difíciles de replicar... Pero también el gol de Maradona a los ingleses, o el doble de Ginóbili en el segundo final a Serbia en los Juegos Olímpicos de Atenas, o algún poema de Neruda.
No crea que el problema que voy a escribir ahora se equipara a nada de lo que antecede, pero es precioso por virtudes propias, porque muestra el “poder” de la matemática para resolver un tema menor, irrelevante y muy posiblemente sin ninguna utilidad práctica. Pero debo confesar que me gustó desde el primer momento que lo vi y por eso quiero compartirlo.
Después de tanto prolegómeno, acá va.
En algunos restaurantes chinos es muy común que un grupo de personas se siente a cenar alrededor de una mesa redonda. En el centro de esa mesa hay una suerte de plataforma circular (ver foto) en donde es común apoyar los platos y, al hacerlo girar, permite compartir la comida entre todos.
Suponga entonces que hay nueve personas sentadas a la mesa. El mozo que los atiende toma los pedidos de cada una de ellas y curiosamente descubre que todos pidieron un plato diferente.
Pasado un rato, el mismo mozo se dispone a distribuir lo que cada uno seleccionó, apoyándolo en la parte central de la mesa, en donde se encuentra la plataforma circular giratoria. Como no recuerda qué es lo que pidió cada uno, los apoya en forma aleatoria y aspira a que cada comensal haga girar la plataforma hasta hacer coincidir delante de él/ella el plato que había ordenado.
El problema consiste en lo siguiente: la/lo invito a que demuestre que, no importa cuál haya sido la distribución original de los platos en la plataforma, si a ninguno le tocó lo que había pedido tiene que haber una manera de hacerla girar de forma tal que al menos a dos personas le toque su preferencia.
Resumiendo: si uno tiene sentadas en una mesa redonda a nueve personas, y cada una pide un plato distinto, y en el medio de la mesa hay un círculo que puede rotar, y justo cuando el mozo trae los platos a ninguno le tocó el plato que pidió, convénzase de que cualquiera sea la configuración inicial, siempre tiene que haber una posible rotación que deja al menos a dos de los comensales con los platos que habían pedido.
Ahora le toca a usted. Yo la/lo espero más adelante.
Solución
Quiero empezar con una pregunta que quizá le permite avanzar a usted sola/solo en la solución del problema: ¿de cuántas formas se puede hacer rotar la plataforma? Es decir, como hay nueve personas sentadas alrededor de la mesa, si uno hace rotar el círculo del medio, ¿cuántas maneras distintas hay de hacer coincidir los platos con las personas?
Si usted lo piensa un instante, descubrirá que hay exactamente nueve posiciones distintas. Luego de nueve pasos, uno vuelve a la posición inicial.
De lo que se trata entonces es de comprobar que si en un principio a nadie le tocó el plato que pidió, alguna de esas nueve rotaciones tiene que hacer coincidir a dos personas con lo pedido.
¿Por qué habría de suceder esto? Hagamos de cuenta que las personas están numeradas (del 1 al 9) y que los platos que pidió cada uno también (del 1 al 9).
Es decir, ningún número de asiento coincide con el número de plato que tiene delante. Ahora bien: la persona número 1 seguro que puede hacer girar la plataforma de manera tal que en algún momento, de las nueve posiciones posibles, tiene que haber alguna que deje el plato número 1 delante de él. Y lo mismo sucede con la persona número 2: habrá alguna rotación que dejará el plato número 2 enfrente de él/ella. Y así siguiendo: cada una de las nueve personas sentadas a la mesa puede hacer girar la plataforma de manera tal de hacer coincidir “su” número con el del plato que tiene delante.
Pero si usted piensa un instante descubrirá que como hay nueve personas, y hay nueve posibles rotaciones, como ya sabemos que la posición inicial no deja a nadie con el plato que eligió, tiene que haber alguna que deje al menos “dos” de los números de asiento coincidiendo con el número de plato. Como en total hay nueve rotaciones, y la original no hace coincidir a nadie, alguna de las ocho restantes tiene que hacer coincidir a dos de los comensales. ¡Y eso resuelve el problema!
Es decir: simplemente contando el número de personas, el número de rotaciones posibles, el número de platos y el hecho de que la posición inicial deje a todos sin el plato que eligió, eso obliga a que al menos una de las ocho posiciones restantes deja a dos personas con el plato elegido.
Generalización
El número nueve no juega ningún rol particular en el problema anterior, es irrelevante. Por lo tanto, si uno tuviera n personas (en lugar de nueve), y si estas n personas le hubieran encargado al mozo n platos diferentes, entonces, con el mismo argumento que elaboramos más arriba, se puede deducir que tiene que haber al menos una forma de rotar la plataforma de manera tal que deje a dos de los comensales con los platos que eligieron. Ah, y por las dudas: esto es hacer matemática también.