A partir de 1962 se hace evidente que Lacan tenía un soporte profesional atrás, en algún momento expresa “ayer estuve con un matemático porque yo voy al matemático como otros van al peluquero”. Empieza a aparecer el lenguaje típico de la matemática, es decir, topología aquí está utilizado en el sentido estricto en que se usa en matemática, incluso podemos saber cual es el texto que toma como base[1].
Empezando a trabajar con las superficies se nos plantea esto ¿Qué podemos hacer con una superficie? Podría decirse así: ¿Para qué quiero las superficies? Para trazar líneas. ¿Para qué quiero trazar líneas? Para usarlas como línea de corte.
Voy contar con cierto detalle la primera aparición de esto en el Seminario de “La Identificación”. En algún momento, un poquito antes del punto inicial, plantea Lacan a partir de la Paradoja de Russell: “El conjunto de todos lo conjuntos no es un conjunto”, lo dibuja con una doble vuelta y dice: una vuelta simple no se cierra, una doble vuelta se cierra pero se cierra sobre nada; esto va a ser la estructura del objeto a: va a tener un borde en doble vuelta que no encierra nada. Es el antecedente inmediato de lo que va a trabajar en ese seminario.
Después, en la clase 12 del Seminario IX aparece esta idea “La matemática es una gigantesca construcción analítica” y enumera varias lógicas tradicionales a las que esto se aplica y lo ilustra con los llamados círculos de Euler. Por ejemplo el significante “hombres” se escribe como una línea cerrada que recorta un disco: el concepto “hombres”. Lo mismo con el significante “mortales” que recorta el concepto “mortales”. Entonces “Todos los hombres son mortales” se escribe con dos discos uno dentro del otro. El disco “hombres” está contenido en el disco “mortales”.
Dentro de “hombres”, un círculo más chico podría ser “griegos”. Entonces, la conjunción de las dos proposiciones “todos lo griegos son hombres” y “todos los hombres son mortales” implica la proposición “todos lo griegos son mortales”. Esto según Aristóteles es una proposición compuesta: las dos primeras están unidas por un y, y forman una proposición compuesta que es el antecedente de una implicación cuya consecuencia es: “todos lo griegos son mortales”. Con esto hemos expresado el silogismo como la propiedad transitiva de la inclusión de conjuntos: “Si un conjunto está incluido en otro y éste está incluido en un tercero el primero está incluido en el tercero”.
Lo anterior depende de que toda línea cerrada recorte un disco. Esta es una propiedad topológica, a todas estas lógicas subyace una topología en la que toda línea cerrada recorta un disco. Esto es una propiedad de la esfera. Insisto en este punto que Lacan señala con mucho cuidado resaltando que éstas son las “construcciones analíticas”.
Pero, plantea Lacan, hay enunciaciones sintéticas en el fundamento de todo sujeto. Sintético y analítico se oponen desde Kant; aquí están usados con las correcciones que a su pesar introdujo Frege. Hay que agregar con Lacan: “construcción analítica” versus “enunciación sintética”, lo que es digno de ser subrayado.
Dice Lacan en ese momento que esas enunciaciones sintéticas son líneas de corte que no dividen en dos regiones. Si las lógicas mencionadas se sostienen en la topología de la esfera, tendremos que buscar otras superficies en la que estas líneas de corte que no dividen puedan trazarse para sostener otras lógicas en las que puedan escribirse las enunciaciones sintéticas.
Así se inaugura la costumbre de Lacan de formular preguntas lógicas y dar respuestas topológicas. En principio la cuestión era si todo se va a reducir a lo analítico, la respuesta es que hay superficies que no son la esfera y en las que es posible hacer cortes que no dividen en dos. Es una respuesta que se da en otro capítulo, no en la lógica sino en la topología.
Más allá de que a uno pueda interesarle seguir el modo en el que Lacan hace las cosas en cada momento, me parece que esta línea general de relacionar la topología con las preguntas que se le formulan a la lógica es un tema fundamental. Es decir que trabajar la teoría de superficies nos viene bien para entender cuestiones lógicas que se van planteando todo el tiempo. Creo que he dado un buen argumento para empezar con teoría de superficies, abarca un período de la obra de Lacan muy bien definido, que podríamos decir que empezó tal día, y en tal día culmina. No digo que se acaba, no es que Lacan nunca más habla de topología de superficies, pero a partir de 1970 o 1971 está hecha esta topología y aparecen otro tipo de cuestiones.
Retomando, si no es la esfera, debemos buscar otras superficies para soportar otras lógicas. Luego de la esfera, las dos más sencillas son el toro y el plano proyectivo y esa alternativa, la idea de trabajar con los dos y la manera en que pueden articularse es el trabajo con las superficies para Lacan; lo principal del trabajo de Lacan para las superficies se sostiene en la estructura de estos dos objetos, plano proyectivo y toro.
El toro puede mostrarse por un salvavidas o una cámara de auto, es entonces fácil de imaginar; la estructura de estas líneas que no dividen en dos regiones es tremendamente complicada pero puede ilustrarse fácilmente. Una tal línea da un cierto número de vueltas pasando por el agujero central y otro número de vueltas que lo bordea. Lacan las llama vueltas llenas y vueltas vacías, las remite a la demanda y el deseo. Hay una propiedad de la estructura del toro: estos dos números no pueden tener un divisor común, además si uno es igual a 1 el otro es igual a 0. En particular esta propiedad teórica nos dice que las vueltas de la demanda no pueden repetirse sin que la línea dé alguna vuelta llena, es decir, la demanda se articula con el deseo. A partir de algún momento el número de las vueltas del deseo se fija en 2, en consonancia con lo que se dijo de la estructura del objeto a, entonces el número de vueltas de la demanda debe ser impar, lo que explica una enigmática cita de L'étourdit: “... el infinito impar de la demanda...”.
La otra superficie que se nos ofrece de entrada es el plano proyectivo. A diferencia del toro, su estructura es muy sencilla pero tiene la dificultad de que no es posible representarla en el espacio. Hay modos de representarla pero implican incluir atravesamientos que no están en la estructura. Uno de ellas, la más conocida, es la que Lacan llama cross-cap o gorro cruzado, la construcción es lo bastante complicada como para preferir otro método; pero de ella parte Lacan en el seminario IX para después incluir la versión intrínseca sin relación al espacio.
Si se recorta un disco del plano proyectivo, lo que queda es una banda de Moebius. Esta superficie se obtiene pegando de cierta manera dos lados opuestos de un rectángulo. Haciendo un corte por la línea media se obtiene una banda cilíndrica, lo mismo se obtiene si se recorta de ella una banda más angosta, de ahí la afirmación “la banda es el corte”.
Lacan escribe con esta estructura la fórmula del fantasma $ <> a; la estructura del sujeto barrado es la banda de Moebius, la del objeto, que ya conocíamos, un disco pegado a ella y el rombo es escrito como esa línea de corte. “La banda es el corte”; el sujeto es su propia división.
El plano proyectivo y su corte se presentan mejor como un “atlas” de dos “mapas” en los que las líneas de contorno se han permutado, el último mapa es una versión del esquema R que aparece en el texto “Una cuestión preliminar...”.[2]
Referencias generales
Jacques Lacan. Seminario IX, “Lídentification” (inédito). Traducción de Ricardo Rodríguez Ponte para la Escuela Freudiana de Buenos Aires.
Jacques Lacan. “L'étourdit”en Autres écrits. Seuil.
Carlos Ruiz. “Topología de superficies”. Curso en la Escuela Freudiana de Buenos Aires. 2004
NOTAS
[1] Fréchet y Fan. Introducción a la topología combinatoria. Cuaderno nº 7. EUDEBA. Buenos Aires
[2] Jacques Lacan. Una cuestión preliminar a todo tratamiento posible de la psicosis. En Escritos. Paidos.
(Originalmente publicado en Imago-Agenda, Letra Viva, Nº 120, junio de 2008)
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