INDICE
Introducción y agradecimientos
PRIMERA PARTE
CAPÍTULO UNO: Un panorama general.Lo verdadero y lo demostrable. Los sistemas axiomáticos formales. Completitud y axiomas. El infinito: La bête noire en los fundamentos de la matemática. El teorema de Incompletitud. La prueba original de Gödel. El Teorema de Consistencia. Extensión y alcance del teorema de Gödel. Precauciones. Gödel, las computadoras y la inteligencia artificial. Derivaciones filosóficas.Ejemplos y ejercicios.
CAPÍTULO DOS: Hilbert y el problema de los fundamentos.El programa de Hilbert. Discusión: Qué dicen y qué no dicen los teoremas de Gödel. Ejemplos y ejercicios.
CAPÍTULO TRES: El lenguaje para la aritmética y la definición de verdad.El lenguaje formal. Los enunciados. Los axiomas y reglas de inferencia de la lógica de primer orden. Demostraciones y teorías. La verdad en matemática: una definición formal. Completitud y consistencia en nuestra teoría formal. Ejercicios.
CAPÍTULO CUATRO: El teorema de Gödel fuera de la matemática.Julia Kristeva: Gödel y la semiótica. Paul Virilio: Gödel y las nuevas tecnologías. Régis Debray y Michel Serres: Gödel y la política. Deleuze y Guattari: Gödel y la filosofía. Jacques Lacan: Gödel y el psicoanálisis. Jean-Francois Lyotard: Gödel y la condición postmoderna. Ejercicios.
SEGUNDA PARTE: La demostración de los teoremas.
HOJA DE RUTA: La concatenación y el Teorema de Incompletitud.Si hay una concatenación expresable, valen los teoremas de Gödel.
CAPÍTULO CINCO: La versión semántica del teorema de incompletitud.La concatenación con punto y raya. Método de autorreferencia. “Ser verdadero” no es expresable.
CAPÍTULO SEIS: La versión general (sintáctica) del teorema de incompletitud. El teorema de consistencia.La versión general (sintáctica) del teorema de incompletitud. El Teorema de Consistencia. Ejercicios.
CAPÍTULO SIETE: Hay una concatenación expresable en la aritmética.
CAPÍTULO OCHO: Toda propiedad recursiva es expresable con la concatenación.
TERCERA PARTE
CAPÍTULO NUEVE: Incompletitud en un contexto general y abstracto.Una demostración intrínseca del Teorema de Gödel. La concatenación y el argumento de Gödel. Conclusiones y preguntas abiertas. Resolución de los ejercicios.
APÉNDICE I: Ejemplos de teorías completas e incompletas.
APÉNDICE II: Hitos en la historia del teorema de incompletitud.
Referencias
Lecturas recomendadas
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INTRODUCCIÓN Y AGRADECIMIENTOS.
El teorema de incompletitud de Gödel es uno de los resultados más profundos y paradójicos de la lógica matemática. Es también, quizá, el teorema que ha ejercido más fascinación en ámbitos alejados de las ciencias exactas. Ha sido citado en disciplinas tan diversas como la semiótica y el psicoanálisis, la filosofía y las ciencias políticas. Autores como Kristeva, Lacan, Debray, Deleuze, Lyotard, y muchos otros, han invocado a Gödel y sus teoremas en arriesgadas analogías.
Junto con otras palabras mágicas de la escena postmoderna como “caos”, “fractal”, “indeterminación”, “aleatoriedad”, el fenómeno de incompletitud se ha asociado también a supuestas derrotas de la razón y al fin de la certidumbre en el terreno más exclusivo del pensamiento: el reino de las fórmulas exactas. Pero también desde el interior de la ciencia se esgrime el teorema de Gödel en agudas controversias epistemológicas, como la que rodea las discusiones sobre inteligencia artificial. Surgido casi a la par de la Teoría de la Relatividad, y de manera quizá más sigilosa, el teorema de Gödel se ha convertido en una pieza fundamental y una referencia ineludible del pensamiento contemporáneo.Pero a diferencia de la teoría de Einstein, en que por la sofisticación de las ecuaciones los mejores intentos de divulgación parecen condenados a ejemplos con relojes y personas que no envejecen en viajes por el espacio -la clase de divulgación que arrancó la conocida broma de Sabato (1)-, en el caso del teorema de incompletitud hay una buena noticia, y es que puede darse una exposición a la vez rigurosa y accesible, que no requiere ninguna formación matemática, más que el recuerdo de la suma y la multiplicación tal como se enseñan en la escuela primaria.Eso es exactamente lo que nos propusimos hacer en este libro: una exposición detallada, pero de extrema suavidad, totalmente autocontenida, que permita a las personas de cualquier disciplina que sólo tengan la imprescindible “curiosidad de espíritu” aventurarse a la experiencia de conocer en profundidad una de las hazañas intelectuales más extraordinarias de nuestra época.Pensamos y concebimos Gödel (para todos) como un juego por etapas, con la esperanza de que los lectores se desafíen a sí mismos a pulsar enter al final de cada capítulo para pasar al próximo nivel. El juego empieza realmente desde cero y gran parte de nuestro esfuerzo fue intentar la mayor claridad posible en cada una de estas etapas para que, idealmente, cada lector pueda llegar tan lejos como se proponga.Una palabra sobre el título: cada vez que se agrega “para todos” al título de libros de divulgación (y mucho más cuando el libro se refiere a cuestiones o autores considerados “difíciles”) se sobreentiende que el “para todos” es en realidad un eufemismo entre condescendiente y piadoso, que oculta al verdadero “para los que no saben nada de nada”. No es el caso de este libro. Cuando decimos “para todos” nos referimos más bien al verdadero significado que tiene la expresión, en todo su alcance. Nuestro libro está dirigido no sólo a los que “no saben nada de nada”, sino también a los lectores que hayan leído sobre el teorema de Gödel en exposiciones parciales, y aún a los que hayan estudiado los teoremas de Gödel y sus demostraciones en profundidad. Porque si bien nuestro libro empieza de cero, llega mucho más allá de lo que se han propuesto las divulgaciones más conocidas en lengua castellana. En particular damos una demostración rigurosa y con todos los detalles de los teoremas, aunque en una aproximación diferente de la más habitual, novedosa por su sencillez, en la que utilizamos la mínima cantidad posible de tecnicismos matemáticos. Hemos incluido también un último capítulo con una investigación propia del fenómeno de incompletitud en un contexto general y problemas abiertos, para mostrar la prolongación que tienen estas ideas y las preguntas que los teoremas de Gödel, todavía hoy, siguen suscitando.El material está organizado de la siguiente manera:- En el primer capítulo damos un panorama general, y una primera aproximación informal, tanto de los enunciados de los teoremas de Gödel como de algunas derivaciones filosóficas.- En el capítulo 2 exponemos el contexto histórico y el estado de la discusión en los fundamentos de la matemática en el momento en que irrumpen los resultados de Gödel. Al final del capítulo incluimos una sección sobre las tergiversaciones y errores más frecuentes en torno a la divulgación de los enunciados.- En el capítulo 3 introducimos el lenguaje formal necesario para enunciar los teoremas con toda la exactitud necesaria, y abrir paso a las demostraciones.Los tres capítulos terminan aparentemente de la misma manera, con el enunciado de los teoremas de Gödel. Pero nuestra intención y esperanza es que se lean, cada vez, con una comprensión más profunda, y con el nuevo sentido y la mayor precisión que se incorpora en cada etapa.- En el capítulo 4 exponemos algunas analogías e intentos de aplicación del teorema de Gödel en distintas disciplinas sociales, fuera de la matemática. En particular analizamos textos de Julia Kristeva, Paul Virilio, Régis Debray, Gilles Deleuze y Félix Guattari, Jacques Lacan, y Jean-Francois Lyotard.Esto concluye la primera parte.La segunda parte está dedicada a la demostración de los teoremas. La prueba que damos tiene, creemos, la mínima cantidad posible de tecnicismos matemáticos. Mostramos, esencialmente, que toda la argumentación de Gödel puede desarrollarse a partir de un único hecho matemático: la existencia en la aritmética de una operación que refleja la manera en que las letras de un lenguaje se yuxtaponen unas a continuación de las otras para formar palabras.La tercera parte, finalmente, está dedicada a una exploración propia sobre el fenómeno de incompletitud en un contexto más general y abstracto. Nos preguntamos cuál es hecho matemático que puede rastrearse en otros objetos, y que “divide aguas” entre teorías completas e incompletas.Casi todos los capítulos incluyen al final una sección de ejercicios. Después de algunas dudas decidimos agregar también la resolución. Esperamos que esto sea un estímulo adicional para pensar primero “sin ayuda” una solución propia y sólo después comparar con la que proponemos en cada caso.El libro se completa con dos apéndices: el primero, para consulta durante la lectura, reúne una variedad de teorías que sirven de ejemplo o contraejemplo a distintas afirmaciones. El segundo es una selección de textos de los propios protagonistas –Cantor, Russell, Hilbert, etc- sobre los hitos principales del fenómeno de incompletitud, que dan en conjunto una pequeña historia del tema.Hemos dejado en el último capítulo preguntas abiertas y quizá algunos lectores se propongan también el desafío de responderlas. Otros lectores, tal vez, quieran hacernos llegar sugerencias o críticas sobre distintos puntos de nuestra exposición, o señalarnos errores que se nos hayan deslizado. Decidimos por eso abrir un blog para recibir comentarios.Pondremos allí también en forma completa algunos de los textos citados que debimos resumir para el formato libro, y también distintos artículos de la bibliografía que nos resultaron particularmente interesantes.Queremos finalmente agradecer a Xavier Caicedo por varias conversaciones y explicaciones esclarecedoras sobre puntos delicados de la teoría y también la lectura final generosa y atenta de Gisela Serrano, Pablo Ámster y Pablo Coll.
Nota:(1) N. del. E.: se refieren al ensayo “Divulgación” de Uno y el universo (1945). Sabato intenta explicar a un amigo la teoría de Einstein y le habla con entusiasmo de tensores y geodésicas. El amigo no entiende una palabra. Sabato hace un segundo intento con menos entusiasmo: conserva todavía algunas geodésicas pero hace intervenir aviadores y disparos de revólver. El amigo, con alegría, le dice que empieza a entender. Sabato se dedica entonces exclusivamente a jefes de estación que disparan revólveres y verifican tiempos con un cronómetro, trenes y campanas. ¡Ahora sí entiendo la relatividad! exclama el amigo. Sí, responde Sabato amargamente, pero ahora no es más la relatividad.
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